814–《高档代数》考研纲领

1、根基请求

请求考生周全体系地舆解高档代数的根基观点和根基理论,纯熟把握高档代数的根基思惟和根基法子。请求考生具备较强的抽象思惟能力、逻辑推理能力、数学运算能力和综合应用所学常识阐发问题息争决问题的能力。

2、测验范畴

(一)多项式

1.多项式的带余除法及整除性、最至公因式、互素多项式;

2.不成约多项式、因式分化独一性定理、重因式、复系数与实系数多项式的因式分化、有理系数多项式不成约的断定;

3.多项式函数与多项式的根、代数根基定理、有理系数多项式的有理根的求法、根与系数的瓜葛。

(二)行列式

1.行列式的界说及性子,行列式的子式、余子式及代数余子式;

2.行列式按一行、列的开展定理、Cramer法例、Laplace定理和行列式乘法定理、Vandermonde行列式;

3.应用行列式的性子及开展定理等计较行列式。

(三)线性方程组

1.Gauss消元法与初等变更;

2.向量组的线性相干性、向量组的秩与极大线性无关组、矩阵的秩;

3.线性方程组有解的辨别定理与解的布局。

(四)矩阵

1.矩阵的根基运算、矩阵的分块及经常使用分块法子;

2.矩阵的初等变更、初等矩阵、矩阵的等价、矩阵的迹、方阵的多项式;;

3.逆矩阵、矩阵可逆的前提及与矩阵的秩和初等矩阵之间的瓜葛,陪伴矩阵及其性子;

4.应用初等变更法求矩阵的秩及逆矩阵。

(五)二次型理论

1.二次型及其矩阵暗示、矩阵的合同、二次型的尺度形与规范形、惯性定理;

2.实二次型在合同变更下的规范形和在正交变更下的特性值尺度型的求法;

3.实二次型或实对称矩阵的正定、半正定、负定、半负定的界说、辨别法及其利用。

(六)线性空间

1.线性空间、子空间的界说与性子,向量组的线性相干性,线性(子)空间的基、维数、向量关于基的坐标,基变更与坐标变更,线性空间的同构;

2.子空间的基扩大定理,天生子空间,子空间的和与直和、维数公式;

3.一些常见的子空间,如线性方程组的解空间、矩阵空间、多项式空间、函数空间。

(七)线性变更

1.线性变更的界说、性子与运算,线性变更的矩阵暗示,矩阵的类似、统一个线性变更关于分歧基的矩阵之间的瓜葛;

2.矩阵的特性多项式与最小多项式及其性子、线性变更及其矩阵的特性值和特性向量的观点和计较、特性子空间、实对称矩阵的特性值与特性向量的性子;

3.线性变更的稳定子空间、核、值域的观点、瓜葛及计较;

4.Hamilton-Caylay定理、矩阵可类似对角化的前提与法子、线性变更矩阵的化简、Jardan尺度形。

(八)λ-矩阵

1.λ-矩阵的初等变更、尺

度型,λ-矩阵的行列式因子、稳定因子、初等因子及三种因子之间的瓜葛;

2.λ-矩阵的等价与数字矩阵的类似;

3.Jordan尺度形的的理论推导。

(九)欧氏空间

1.内积与欧氏空间的界说及性子,向量的长度、夹角、间隔,正交矩阵,欧氏空间的同构,正交子空间与正交补;

2.欧氏空间的怀抱矩阵、尺度正交基、线性无关向量组的Schmidt正交化法子;

3.正交变更与正交矩阵的等价前提,对称变更的观点与性子;

4.实对称矩阵的正交类似对角化的求法;最小二乘法、初等扭转和镜像变更。

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