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今天老梁继续给大家推送《考研数学真题分类解析系列》第009期,选择一道真题来讨论极限式中含有函数差型无穷小因子时的处理方法。

真题及解析

【例009】(2009数3)

【分析一】本题为0/0型未定式,因此使用洛必达法则求极限。但在这之前应先化简,将分母用无穷小等价替换。

【解法一】由洛必达法则,

【分析二】如果极限式中含有指数函数差

或幂函数差形式的无穷小,则可通过适当提取因子的办法转化为e*-1的形式,从而可利用无穷小等价替换,有两种情况:

(1)指数函数差型无穷小因子的转化步骤:

(2)幂函数差型无穷小因子的转化步骤:

【解法二】利用无穷小等价性,

【分析三】由于拉格朗日中值定理或柯西中值定理都包含同一函数在两点之差,因此在很多时候也可以利用中值定理处理函数差的无穷小因子。

【解法三】

总结

在考研数学有关极限问题中,如果出现函数差型的无穷小因子,通过上述两种方法处理,有时会起到意想不到的效果。特别是用不适合用洛必达法则的场合。另外利用中值定理可处理任意函数的差型无穷小因子(不只是幂函数和指数函数)。

总结方法 归纳题型

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